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हर स्टेप समझो

सिर्फ जवाब नहीं — हर स्टेप की पूरी व्याख्या

फ़ॉर्मूले

जादू को एक्शन में देखो

बेसल प्रॉब्लम को फूरिए श्रेणी (Fourier series) से हल किया — हर स्टेप के साथ

सवाल

श्रेणी का योग निकालो:
∑n=1∞1n2  =  1+14+19+116+⋯\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \;=\; 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots

हल

π26\dfrac{\pi^2}{6}
1
मान लो f(x)=x2f(x) = x^2 अंतराल (−π, π)(-\pi,\,\pi) पर। इसका फूरिए श्रेणी (Fourier series) प्रसार:
f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n \cos nx + b_n \sin nx\bigr)
2
चूँकि f(x)=x2f(x) = x^2 सम फलन (even function) है, सभी bn=0b_n = 0। गुणांक निकालने पर:
a0=2π23,an=4(−1)nn2a_0 = \frac{2\pi^2}{3}, \qquad a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}
3
रखने पर x2x^2 की फूरिए श्रेणी (Fourier series) मिलती है:
x2=π23+4∑n=1∞(−1)ncos⁡nxn2x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos nx}{n^2}
4
x=πx = \pi रखो। चूँकि cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n:
π2=π23+4∑n=1∞(−1)n⋅(−1)nn2=π23+4∑n=1∞1n2\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
5
योग अलग करो:
4∑n=1∞1n2=π2−π23=2π234\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}
6
दोनों तरफ 44 से भाग दो:
  ∑n=1∞1n2=π26  \boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

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“फाइनल्स में मेरी जान बचा ली! कैलकुलस (Calculus) के स्टेप-बाय-स्टेप हल बिल्कुल वही थे जो मुझे समझने के लिए चाहिए थे।”

James R.

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कॉलेज, दूसरा साल

“मैं व्हाइटबोर्ड पर समीकरण (equations) बनाती हूँ और तुरंत हल मिल जाता है। ट्यूटर का इंतज़ार करने से कहीं बेहतर।”

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Sarah L.

हाई स्कूल, 11वीं कक्षा

“ग्राफ़ फ़ीचर ने मुझे फलनों (functions) को विज़ुअलाइज़ करने और अवकलज (derivatives) को सहज रूप से समझने में मदद की।”

Wei C.

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यूनिवर्सिटी, पहला साल

“टेक्स्टबुक का सवाल अपलोड किया — 5 सेकंड में विस्तृत हल मिल गया। एकदम जादू!”

Priya M.

Priya M.

हाई स्कूल, 10वीं कक्षा

“मैं अपने स्टूडेंट्स को सेल्फ-स्टडी के लिए इसकी सिफारिश करता हूँ। स्टेप-बाय-स्टेप व्याख्या बिल्कुल वैसी ही है जैसा मैं क्लास में पढ़ाता हूँ।”

Dr. Anderson

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प्रोफ़ेसर

“रैखिक बीजगणित (Linear Algebra) मेरी जान ले रहा था। अब मैं मैट्रिक्स (Matrices) और सिस्टम सेकंडों में पूरी व्याख्या के साथ हल कर लेती हूँ।”

Sofia K.

Sofia K.

कॉलेज, तीसरा साल

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