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Le problème de Bâle résolu à l'aide des séries de Fourier — chaque étape expliquée

Question

Trouve la somme de la série :
∑n=1∞1n2  =  1+14+19+116+⋯\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \;=\; 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots

Solution

π26\dfrac{\pi^2}{6}
1
Considérons f(x)=x2f(x) = x^2 sur (−π, π)(-\pi,\,\pi). Son développement en série de Fourier :
f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n \cos nx + b_n \sin nx\bigr)
2
Comme f(x)=x2f(x) = x^2 est paire, tous les bn=0b_n = 0. Calcul des coefficients :
a0=2π23,an=4(−1)nn2a_0 = \frac{2\pi^2}{3}, \qquad a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}
3
En substituant, on obtient la série de Fourier de x2x^2 :
x2=π23+4∑n=1∞(−1)ncos⁡nxn2x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos nx}{n^2}
4
Substituons x=πx = \pi. Comme cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n :
π2=π23+4∑n=1∞(−1)n⋅(−1)nn2=π23+4∑n=1∞1n2\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
5
Isolons la somme :
4∑n=1∞1n2=π2−π23=2π234\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}
6
Divisons les deux membres par 44 :
  ∑n=1∞1n2=π26  \boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

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