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Das Basler Problem gelöst mit Fourier-Reihen — mit jedem Schritt erklärt

Aufgabe

Finde die Summe der Reihe:
∑n=1∞1n2  =  1+14+19+116+⋯\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \;=\; 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots

Lösung

π26\dfrac{\pi^2}{6}
1
Betrachte f(x)=x2f(x) = x^2 auf (−π, π)(-\pi,\,\pi). Die Fourier-Reihenentwicklung:
f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n \cos nx + b_n \sin nx\bigr)
2
Da f(x)=x2f(x) = x^2 gerade ist, sind alle bn=0b_n = 0. Berechnung der Koeffizienten:
a0=2π23,an=4(−1)nn2a_0 = \frac{2\pi^2}{3}, \qquad a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}
3
Einsetzen ergibt die Fourier-Reihe für x2x^2:
x2=π23+4∑n=1∞(−1)ncos⁡nxn2x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos nx}{n^2}
4
Setze x=πx = \pi ein. Da cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n:
π2=π23+4∑n=1∞(−1)n⋅(−1)nn2=π23+4∑n=1∞1n2\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{(-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
5
Isoliere die Summe:
4∑n=1∞1n2=π2−π23=2π234\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi^2 - \frac{\pi^2}{3} = \frac{2\pi^2}{3}
6
Teile beide Seiten durch 44:
  ∑n=1∞1n2=π26  \boxed{\;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

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James R.

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SL

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Gymnasium, 11. Klasse

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Wei C.

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Universität, 1. Jahr

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Priya M.

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Gymnasium, 10. Klasse

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Dr. Anderson

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Sofia K.

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Uni, 3. Jahr

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